数根(又称数字根Digital root)是自然数的一种性质，换句话说，每个自然数都有一个数根。

定义

Source: wikipedia
Let \({\displaystyle S(n)}\) denote the sum of the digits of \({\displaystyle n}\) and let the composition of \({\displaystyle S(n)}\) be as follows:
$$ {\displaystyle S^{1}(n)=S(n),\ \ S^{m}(n)=S\left(S^{m-1}(n)\right),\ {\text{for}}\ m\geq 2.} $$
Eventually the sequence \({\displaystyle S^{1}(n),S^{2}(n),S^{3}(n),\dotsb }\) becomes a one digit number. Let \({\displaystyle S^{*}(n)}\) (the digital sum of \({\displaystyle n}\) ) represent this one digit number.

简单来说

将一个自然数各个位数相加，如果结果大于10，再重复各个位相加，直到只剩一位的数。

Example:
$$ 38 \\\Downarrow \\ 3 + 8 = 11 \\ \Downarrow \\ 1 + 1 = 2 $$
其中，38各个位相加为11，大于11，再相加为2，2即使38的数根。

公式

$$
dr(n)=\begin{cases}
0 & \mbox{if}\ n =0 \\
9 & \mbox{if}\ n \neq 0,\ n \equiv 0 \pmod 9 \\
n \mod 9 & \mbox{if}\ n \not\equiv 0 \pmod 9
\end{cases}
$$

or

$$
dr(n) = 1 + ((n-1)\mod9)
$$

Tip: 为什么不是 $ dr(n) = n \mod 9$, 因为直接对9取余结果是$ [0, 8] $, 而数根是$ [0, 9]。$

应用

checksum

多个数之和的数根等于多个数的数根的和的数根
即：
$$ dr(sum(a + b +… + n)) = sum(dr(a) + dr(b) + … + dr(n))$$